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2018
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数学建模,漏斗形状设计问题我们仔细观察不难发现,经常使用的漏斗有圆柱形,倒圆锥形等多种形状,而每种形状的漏斗其漏水时间并不相同.由水利学知道,水从孔口流出的速度(体积对时间

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问题描述:

数学建模,漏斗形状设计问题
我们仔细观察不难发现,经常使用的漏斗有圆柱形,倒圆锥形等多种形状,而每种形状的漏斗其漏水时间并不相同.由水利学知道,水从孔口流出的速度(体积对时间的变化率)大小为 (m3/s,立方米/秒),其中0.62为流量系数, 为重力加速度, 为水面高度(水面与孔口中心间的距离).
现在就漏斗形状的设计,完成以下问题(计算结果请注明单位):
1.若漏斗的设计成倒圆锥形(如下图所示),建立漏斗中水面高度的数学模型.
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2.在问题1的基础上,设漏斗上底面直径为1米,高为0.5米,小孔直径为2.5厘米,水从小孔流完需要多少时间?
3.请你设计几种形状的漏斗(不少于两种),并建立漏斗中水面高度的数学模型.在相同条件下(例如,漏斗的体积为定值 ,且漏斗上底面直径与漏斗高之比为2:1)对设计出的漏斗进行比较,说明哪种漏斗的漏水时间最少.
4.若从经济角度考虑,该如何设计倒圆锥形漏斗?例如说,上底面直径和高之比等.
5.在问题4的基础上,即在最优设计条件下,设漏斗体积为1立方米,小孔直径为2.5厘米,水从小孔流完需要多少时间?

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